НовоВики. «Мой Новосибирск родной!»

Участник:Группа №1 — различия между версиями

Материал из Wiki.nios.ru
Перейти к: навигация, поиск
(Гипотеза.)
(О применении признаков равенства треугольников)
Строка 56: Строка 56:
 
Фигуры с равными периметрами ограничивают равные площади
 
Фигуры с равными периметрами ограничивают равные площади
  
== О применении признаков равенства треугольников  ==
+
== Свойства квадрата==
 +
У квадрата есть два практичных свойства:
 +
Периметр квадрата меньше периметра любого равновеликого ему прямоугольника,
 +
Площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же периметром.
  
===''<u>Задача1</u>''===
+
[[Файл:Example.jpg]]
[[Изображение: ris1.JPG | right]]
+
В своей книге «Удивительный квадрат» Б.А. Кордемский и Н.В. Русалев подробно описывают доказательства этих свойств.
'''<p align=justify> При постройке [http://docs.google.com/Presentation?id=dfmxxr8f_2dw36qsgb кровель, мостов, подъемных кранов] скрепляют опорные брусья или балки так чтобы они образовали систему треугольников. Почему такое расположение балок лучше обеспечивает жесткость формы сооружения, нежели иное?</p>'''
+
Для доказательства первого свойства был сравнен периметр квадрата АВСD, со стороной x, данной площади (рис.1) с каким-либо прямоугольником ВЕFG,с большей стороной y, той же площади. Очевидно, что y больше x, ; тогда другая сторона z непременно меньше x. По чертежу видно, что АВЕК- общая часть и для квадрата и для прямоугольника; остаются два равновеликих прямоугольника АКFG и КЕСD, т.е. АG•FG = DС•КD. Но так как FG<DC, то AG>KD или y–x > x–z. Отсюда y+z>2x и 2y+2z>4x, то есть периметр любого прямоугольника, равновеликого квадрату, больше периметра квадрата. Значит, среди всех равновеликих прямоугольников квадрат обладает наименьшим периметром.
 
+
Для доказательства второго свойства авторы книги использовали метод, когда доказывают обратные теоремы – от противного.
<p align=justify> Из третьего признака равенства треугольников следует, что ''треугольник - жёсткая фигура. ''Поясним, что это означает.
+
Дан квадрат, периметр которого равен p, а площадь равна q.Пусть существует прямоугольник, периметр которого тоже равен p, а площадь Q>q. Затем авторы построили новый квадрат, равновеликий этому прямоугольнику, то есть с площадью, тоже равной Q, и, следовательно, большей, чем площадь данного квадрата. Но по предыдущей теореме периметр нового квадрата p <p.Значит, площадь нового квадрата больше площади данного, а периметр меньше. Это невозможно. Следовательно, не существует прямоугольника с периметром таким же, как у квадрата и площадью большей, чем площадь квадрата. Не существует также и прямоугольника, имеющего площадь, равную площади данного квадрата, так как в этом случае периметр квадрата меньше периметра прямоугольника, что противоречит условию.
Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем (рис.1). Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 2).
+
Эти свойства можно считать практичными, потому что их можно использовать в жизненных ситуациях. Например, если нужно огородить изгородью, забором или решёткой участок земли определённой площади так, чтобы длина ограды была насколько возможно малой, причём огороженный участок должен быть прямоугольной формы, но с любым соотношением сторон. В переводе на точный, математический язык это значит: какой из прямоугольников данной площади имеет наименьший периметр?
Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.</p>
+
В книге «Занимательная геометрия» Я.И. Перельмана приведены примеры и популярно изложены вопросы о фигурах с наибольшей площадью при данном периметре или с наименьшим периметре при данной площади
 
+
Именно поэтому лучшее расположение балок такое.
+
 
+
----
+
 
+
В [[Новосокольнический район|Новосокольническом районе]] на Смёртном озере, недалеко от Маевcкой школы, есть остров.
+
[[Изображение:ostrov-maevo.JPG|300px|center|Смёртное озеро]]
+
 
+
===''<u>Задача2.1</u>''===
+
 
+
[[Изображение: ostrovmaevo.JPG|195px|right|рис.3]]
+
'''<p align=justify> От пункта А, расположенного на берегу, к пункту В, лежащему на острове, требуется провести телефонную связь. Как не переплывая на остров, определить необходимое количество (длину) телефонного кабеля? Какой признак равенства треугольников здесь можно использовать? (Пункты А и В расположены на берегах, а кабель прокладывается по дну реки, т. е. условно ищем длину отрезка АВ)</p>'''
+
 
+
 
+
 
+
<p align=justify> [http://docs.google.com/Doc?id=dfmxxr8f_33j5d2wndq Провесив прямую] АС, отложим АС = СА<sub>1</sub>. < САВ измерим [http://docs.google.com/Doc?id=dfmxxr8f_31dw7pg4cn астролябией] (или [http://docs.google.com/Doc?id=dfmxxr8f_0fjh97vfr теодолитом]) и через точку А<sub>1</sub> провесим прямую А<sub>1</sub>В<sub>1</sub> так, чтобы < СА<sub>1</sub>В<sub>1</sub> = < САВ. Тогда треугольник АВС равен треугольнику А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>С (по стороне и двум прилежащим углам). Искомая длина кабеля  А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>. </p> <br clear="both" />
+
 
+
===''<u>Задача2.2</u>''===
+
[[Изображение: ostrovmaevo2.JPG|170px|right|рис.4]]
+
 
+
 
+
'''Найти длину острова АВ, не переплывая на остров.'''
+
 
+
 
+
 
+
<p align=justify> На берегу выберем точку С, из которой видны точки А и В (рис. 4), провесим прямые АС и ВС. Отложим СА<sub>1</sub> = СА, СВ<sub>1</sub> = СВ. Расстояние А<sub>1</sub>В<sub>1</sub> будет равно искомому расстоянию АВ, т. к. треугольник АВС равен треугольнику А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>С по двум сторонам и углу между ними (СА<sub>1</sub> = СА, СВ<sub>1</sub> = СВ, угол ВСА равен углу А<sub>1</sub>СВ<sub>1</sub>, как вертикальные) </p> <br clear="both" />
+
 
+
===''<u>Задача3</u>''===
+
 
+
Попробуйте следующую задачу решить самостоятельно.
+
 
+
 
+
'''<p align=justify> От оконного стекла треугольной формы откололся один из его уголков. Можно ли по сохранившейся части заказать стекольщику вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры? </p>'''
+
  
 
== Выводы ==
 
== Выводы ==

Версия 15:23, 1 ноября 2010

Содержание

Автор проекта

Группа №1

Что было бы, если не было бы квадрата?

Введение

Присмотритесь-ка к квадрату: Он здоровый, тороватый, Он надежнее как друг, Чем уж слишком круглый круг. В нем четыре стороны И все стороны равны. Честен каждою чертой, Каждый угол в нем прямой. Тем еще квадрат отличен, Что вполне он симметричен, Треугольников всех рать Вам того не может дать. Е. Паин

Правильные многоугольники с глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаза правильный многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы. Одним из таких многоугольников является квадрат или другими словами, квадрат- это правильный четырехугольник. Дать определение квадрату можно несколькими способами: квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны и квадрат – это ромб, у которого все углы прямые. Из школьного курса геометрии известно: 1 у квадрата все стороны равны, 2 все углы прямые, 3 диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам. 4 Квадрат обладает симметрией, которая придает ему простоту и известное совершенство формы: квадрат служит эталоном при измерении площадей всех фигур. Это малая часть того, что можно раскрыть в этом вопросе, потому что современной математике известно достаточно много интересных и полезных свойств квадрата. Поэтому целью данного реферата является: 1 подробнее исследовать свойства квадрата, 2 рассмотреть геометрические способы раскроя квадрата, 3 обосновать возможности превращений фигур при помощи разрезания квадрата, 4 найти различные варианты построений, которые можно воспроизвести при помощи перегибания квадратного листа бумаги, и выявить преимущества в таком виде построений. При изучении данной темы использовались статьи из книг и журналов, посвященных отдельным вопросам метематики. В. Ф. Каган «О преобразовании многогранников». В этой книге приводится доказательство теоремы Ф. Больаи на примере квадрата. В книге «Удивительный квадрат» Б.А. Кордемского и Н.В. Русалева подробно изложены доказательства некоторых свойств квадрата, приведены пример «совершенного квадрата» и решение одной задачи на разрезание квадрата арабским математиком Х века Абулом Вефой. В книге И. Лемана «Увлекательная математика» собрано несколько десятков задач, среди которых есть и такие, возраст которых исчисляется тысячелетиями. Из этой книги в реферате были использованы задачи на разрезания квадрата. Книги Я.И. Перельмана принадлежат к числу наиболее доступных из книг, посвященных занимательной математике. В книге «Занимательная геометрия» популярно изложен вопрос о фигурах с наибольшей площадью при данном периметре или с наименьшим периметром при данной площади. Для полного представления о построении при помощи перегибания квадратного квадрата листа бумаги была использована книга И.Н. Сергеева «Примени математику».

Цели исследования

  • Выяснить,влияет ли одна и таже данная длина границ на площадь фигур заключаемую этой границей

Задачи.

  • Изучить историю развития геометрических знаний, связанных с измерением площадей
  • Найти известные исторические задачи, касающиеся вопроса, как можно окружить больше земли?
  • Сравнить площади четырёхугольников с одинаковым периметром
  • Сравнить площади квадрата и треугольника данного периметра Изучить исторические сведения, связанные с измерением площадей.
  • Сравнить площади квадрата и круга одинакового периметра
  • Сравнить площади квадрата и правильных многоугольников при одной и той же длине границ
  • Найти правила игры с квадратом или с его частями
  • Сконструировать фигуры различной формы из квадрата или из его частей
  • Оформить презентации учащихся.
  • Оформить публикации.
  • Научиться делать выводы и оформлять результаты исследования.

Гипотеза исследования.

Фигуры с равными периметрами ограничивают равные площади

Свойства квадрата

У квадрата есть два практичных свойства: Периметр квадрата меньше периметра любого равновеликого ему прямоугольника, Площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же периметром.

Example.jpg В своей книге «Удивительный квадрат» Б.А. Кордемский и Н.В. Русалев подробно описывают доказательства этих свойств. Для доказательства первого свойства был сравнен периметр квадрата АВСD, со стороной x, данной площади (рис.1) с каким-либо прямоугольником ВЕFG,с большей стороной y, той же площади. Очевидно, что y больше x, ; тогда другая сторона z непременно меньше x. По чертежу видно, что АВЕК- общая часть и для квадрата и для прямоугольника; остаются два равновеликих прямоугольника АКFG и КЕСD, т.е. АG•FG = DС•КD. Но так как FG<DC, то AG>KD или y–x > x–z. Отсюда y+z>2x и 2y+2z>4x, то есть периметр любого прямоугольника, равновеликого квадрату, больше периметра квадрата. Значит, среди всех равновеликих прямоугольников квадрат обладает наименьшим периметром. Для доказательства второго свойства авторы книги использовали метод, когда доказывают обратные теоремы – от противного. Дан квадрат, периметр которого равен p, а площадь равна q.Пусть существует прямоугольник, периметр которого тоже равен p, а площадь Q>q. Затем авторы построили новый квадрат, равновеликий этому прямоугольнику, то есть с площадью, тоже равной Q, и, следовательно, большей, чем площадь данного квадрата. Но по предыдущей теореме периметр нового квадрата p <p.Значит, площадь нового квадрата больше площади данного, а периметр меньше. Это невозможно. Следовательно, не существует прямоугольника с периметром таким же, как у квадрата и площадью большей, чем площадь квадрата. Не существует также и прямоугольника, имеющего площадь, равную площади данного квадрата, так как в этом случае периметр квадрата меньше периметра прямоугольника, что противоречит условию. Эти свойства можно считать практичными, потому что их можно использовать в жизненных ситуациях. Например, если нужно огородить изгородью, забором или решёткой участок земли определённой площади так, чтобы длина ограды была насколько возможно малой, причём огороженный участок должен быть прямоугольной формы, но с любым соотношением сторон. В переводе на точный, математический язык это значит: какой из прямоугольников данной площади имеет наименьший периметр? В книге «Занимательная геометрия» Я.И. Перельмана приведены примеры и популярно изложены вопросы о фигурах с наибольшей площадью при данном периметре или с наименьшим периметре при данной площади

Выводы

  • Признаки равенства треугольников находят применение в различных областях жизни, облегчают физический труд человека.
  • Знание геометрии меняет жизнь людей к лучшему.

Источники информации

  • Геометрия 7-9. Учебник для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутусов,С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина - М.,Просвещение,2002. – 335 с.
  • Задачи по планиметрии с практическим содержанием / С. С. Варданян - М.,Просвещение, 1999– 144 с.
  • Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7 - 9 классов средней школы / Сост. И. Л. Никольская. - М., Просвещение. 1991– 328 с.
  • Энциклопедический словарь юного математика /Сост.А. П. Савин. - Педагогика, 1985 – 463 с.

Вернуться на страницу проекта

Персональные инструменты